素数是数学中一个名为数论的分支里最基础的研究主题之一。
素数是只能被自身和 1 整除的数。例如，7 是素数，因为如果用除自身或 1 以外的任何数去除 7，都会留下余数或分数部分。6 不是素数，因为 6 可以被 2 整除，得到 3。
素数在数论中之所以重要，原因之一是从某种意义上说，它们是自然数的构成基石。 算术基本定理 （其名称也表明了它的基础重要性）指出，任何数都可以分解为一组唯一的素数。12 = 2 × 2 × 3，50 = 5 × 5 × 2，69 = 3 × 23。
因此，研究数基本上就是研究素数的性质。数千年来，数学家已经弄清了不少关于素数的知识。欧几里得最著名的证明之一表明，素数有无穷多个。
这项证明的 基本思路 是：假如素数只有有限多个，而且我们列出了所有这些素数，就可以把它们全部相乘再加 1，得到一个不能被列表中任何素数整除的新数。这个数要么本身就是一个不在列表中的素数，要么有一个不在列表中的素因数。无论哪种情况，都与“素数可以列成有限清单”的想法相矛盾，因此素数必定有无穷多个。
19 世纪，数学家证明了 素数定理。给定一个较大的自然数，该定理可以粗略估算小于这个数的素数有多少个。按照一个特定的近似公式，数越大，其中的素数就越稀少。
尽管我们对素数已经了解很多，仍有不少看似简单的素数猜想尚未得到证明或证伪。以下是其中一些猜想。
孪生素数
孪生素数 是指两个相差仅一个数的素数对：5 和 7、11 和 13，以及 29 和 31。孪生素数猜想认为，在无穷多个素数中，孪生素数对也有无穷多对。
大多数数学家认为这个猜想应该成立：虽然数越大，素数越稀少，但数论学家对素数的研究经验和直觉表明，孪生素数对仍应时不时出现。尽管如此，这个猜想尚未得到证明或证伪。
这个问题几个世纪以来一直悬而未决。2013 年春，新罕布什尔大学数学家张益唐在这一问题上取得突破， 并因此于 2014 年 9 月获颁麦克阿瑟“天才”奖。张益唐虽然没有证明孪生素数猜想本身，却创造了一种新方法，证明了存在无穷多对素数，其间隔不超过 70,000,000 个数。这是一个很大的数字，但这是人们首次发现素数间距存在这样的有限上限。
2013 年秋，一大批数学家在张益唐的工作及类似结果的基础上开展合作，不断找到更小的上限，最终证明存在无穷多对素数，它们之间至多相隔 246 个数。
哥德巴赫猜想
这是另一个表述简单的问题。 哥德巴赫猜想 认为，每个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。对于较小的数，这显然成立：4 = 2 + 2，8 = 5 + 3，20 = 13 + 7；但这一结论尚未对所有偶数得到证明。
借助 21 世纪计算机和精心设计的程序，研究人员 已经验证该猜想对不超过 4,000,000,000,000,000,000 的偶数成立。这是支持该猜想的有力证据，但在数学中，证明一个猜想对小于某个极其巨大的有限上限的所有数都成立，并不足以说明它对所有数都成立。
回文素数
英语中的回文是指正读和反读都相同的单词或句子。“radar”一词和短语“A man, a plan, a canal: Panama”都是回文。
同样，回文素数是指十进制表示正读和反读都相同的素数。11、101 和 16561 是 回文素数的一些例子。
我个人最喜欢的素数是 贝尔芬格素数：1000000000000066600000000000001。它由一个 1、13 个 0、一个 666、另外 13 个 0，最后再加一个 1 组成。鉴于根据 《启示录》13:18，666 是“兽的数字”，而 13 又附带着一大堆迷信说法，这大概是十进制数系中可能最不吉利的素数。
与孪生素数的情况一样，目前还不知道回文素数是否有无穷多个。不过，与孪生素数相比，回文素数并非数学研究中那么活跃的领域。
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想这类问题只依赖于素数本身的结构和分布。但回文素数取决于所使用的特定数制：二进制回文与十进制回文截然不同。十进制写作 31 的素数，用二进制写作 11111。在二进制中，这个素数是回文；在十进制中则不是。
数学家确实研究回文素数，也得出了一些结果，例如 无论采用何种数制，素数在回文数中都很少见 ；但数论中更多的研究精力用于关注素数性质本身、而不受其表示方式影响的问题。
黎曼猜想
这项 黎曼猜想 是“千禧年大奖难题”之一。该系列包含数学中最重要的未解问题，解出其中一道即可获得 1,000,000 美元奖金。
黎曼猜想涉及对上文提到的素数定理的扩展。该定理给出了一个公式，用于近似计算小于某个给定大数的素数数量。黎曼猜想给出了更具体的结果，提供一个公式来说明这一估算会有多准确。
19 世纪伟大的数学家伯恩哈德·黎曼将这个准确度界限与复平面上的一个特殊函数联系起来。黎曼猜想的实际表述是：该函数在复平面上所有取值为零的点都落在平面中的一条特定直线上。如果确实如此，这个准确度界限也将成立。
与本列表中的其他问题一样，关于黎曼猜想也有相当多的数值证据，而且大多数数学家相信它成立。数学家已经检验了该函数数十亿个零点，发现它们全都落在那条直线上。
与我们考察的其他问题一样，这一猜想尚未得到完整证明。在这些情形中，尽管大多数数学家相信这些猜想成立，也有不少经验性证据支持它们，但寻找完整证明的工作仍在继续。
数学家这种看似执着的行为，部分原因在于严格证明是数学的主要目标之一；此外，孪生素数猜想或黎曼猜想的任何证明，都很可能需要彻底革新的数学方法和洞见，从而有望开辟全新的研究方向和探索思路。在数学中，寻找证明的过程往往至少与结果本身同样有趣。
本文由……合作发表： Business Insider
作者：Andy Kiersz 是 Business Insider 的量化报道记者。
图片：2012 年 5 月 22 日，在澳门举行的亚洲博彩博览会上，老虎机前的轮盘上有一个球。路透社/Bobby Yip。
