向一组竞标者出售大量相同商品时，卖方通常会要求每位竞标者提交一份弱递减的报价曲线，并假定这些报价曲线代表真实需求，据此计算市场出清价格。两种最常见的拍卖形式（Brenner et al. 2009；Maurer and Barroso 2011）在如何根据市场出清价格计算付款方面有所不同。在按报价支付拍卖中，竞标者为其获得的每单位商品支付自己申报的需求报价；而在统一价格拍卖中，所有竞标者为其获得的每单位商品支付市场出清价格。
这两种形式中哪一种能带来更好的结果——尤其是更高的卖方收入——仍是一个悬而未决的问题。近期理论研究表明，结果的优劣排序在根本上存在歧义（Ausubel et al. 2014），不过在参数化情形下或许可以确定（Wang and Zender 2002）。实证研究之所以困难，是因为经济学家通常无法在这些模型中观察到令人信服的自然实验。拍卖商品的基本价值往往随宏观经济参数变化，机制选择并非外生；也有观点认为，竞标者可能会采取短期内非最优的行为，以期影响最终采用的拍卖形式（Binmore and Swierzbinski 2000；Heller and Lengweiler 2001）。
因此，机制选择问题必须通过结构性经济学方法加以研究。实证研究者先推断潜在类型分布，再计算未观察到的拍卖形式下的反事实结果。从实证角度看，这种方法印证了前述理论上的歧义：在不同情境中，两种拍卖形式都可能略占优势（Février et al. 2002；Kang and Puller 2008；Castellanos and Oviedo 2004；Armantier and Sbai 2006），也可能不存在显著差异（Hortaçsu and McAdams 2010）。这一领域的进一步进展受到按报价支付形式下结果计算困难的阻碍。
理解按报价支付拍卖
经济学家已经掌握了多单位按报价支付拍卖的一些重要事实。纯策略均衡存在（Athey 2001；McAdams 2003），竞标者可以通过提交阶梯较宽的阶梯函数报价曲线，较为接近地实现最优行为（Kastl 2012）。然而，明确计算均衡行为仍是一项难题。Wilson（1979）率先提出多单位拍卖的可分商品近似，假设相同商品可以无限细分，而非离散分割。与经济学中的其他连续近似一样，这一模型为原本难以处理的离散数学问题提供了一个便于分析的表示方式。
新研究
Woodward（2014）以及 Pycia and Woodward（2014）的近期研究表明，这种近似是适定的，而且可能相当便于分析。此前，人们对一般可分商品按报价支付拍卖中的行为所知甚少。在参数化情形下，已有研究构造出均衡报价（Wang and Zender 2002；Federico and Rahman 2003；Holmberg 2009；Ausubel et al. 2014）。这些结果往往依赖于特定的不确定供给分布以及竞标者的边际价值。
对于竞标者人数任意、竞标者相互不对称且各自拥有私人信息的情形，Woodward（2014）证明了纯策略均衡的存在。所采用的证明技巧——验证多单位拍卖竞标策略的伪极限构成相互最佳回应——表明可分商品近似是合理的，也为反事实研究方法提供了另一项有力依据。
这项研究还描述了策略性熨平这一显著的报价压平效应；通过一个有两名竞标者的例子最容易理解策略性熨平。当供给量较大，以至于任何一位竞标者对拍卖总量都没有正的边际价值时，竞标者知道，在最初的无穷小数量上他们不会面临竞争，因为对手对剩余供给的价值为零。不过，对于更大的数量，竞争依然存在。
由于报价必须递减，竞标者必须在两种压力之间取得平衡，才能使报价曲线有效——一方面希望对最初的无穷小数量报零，另一方面又不希望因降低报价而不必要地放弃更高数量的商品。
图 1。熨平压力必须在竞标者对少量商品报零的意愿与有效竞争更高数量商品的意愿之间取得平衡
来源：Woodward 2014。
这一过程中存在一种自然的反馈效应：竞标者 A 降低对少量竞争性商品的报价，竞争随之减弱，促使竞标者 B 也降低对少量竞争性商品的报价。与单单位拍卖中的赢家诅咒一样，现实中的竞标者很可能不会充分考虑这种反馈效应；模拟显示，这可能导致竞标者为其分配到的商品多支付至多 20%。此外，如果竞标者没有考虑熨平压力，结构性方法就会系统性地高估竞标者的真实价值，从而使反事实收入估计产生向上的偏差。
图 2。策略性熨平促使竞标者降低对低数量商品的报价，从而减少这些数量上的竞争；其对手通过降低自己的报价作出最佳回应，竞争进一步减弱。因此，没有策略性熨平的报价（黄色虚线）严格高于有策略性熨平的报价（洋红色实线）
来源：Woodward 2014
Pycia and Woodward（2014）提出了与这些结果自然互补的研究。在竞标者信息对称、但供给随机的情形下——这是真实世界拍卖的常见特征——他们发现均衡是唯一的，报价具有便于分析的形式，而且只需相对简单的不等式即可验证均衡存在。这些结果进一步支持结构估计技术：给定竞标者价值的分布，确定按报价支付拍卖中的均衡结果十分直接，因此计算卖方的预期收入也相对容易。
图 3。随着供给变得确定，均衡报价函数（黄色）；边际价值以蓝色表示，供给的累积分布函数（CDF）以灰色表示
来源：Pycia and Woodward 2014。
均衡报价的简单解析形式带来了若干有用的理论结果，其中一项尤其令人意外：
当供给分布和拍卖保留价经过最优选择时，按报价支付拍卖与统一价格拍卖的收入相等。事实上，两种拍卖形式产生完全相同的结果。
这为机制选择相关实证结果的模糊性提供了一种新解释。如果卖方投入同等资源来优化机制内部的设置和选择要实施的机制，那么无论实施按报价支付拍卖还是统一价格拍卖，实证研究者都应观察到大致相同的结果。
结语
理解可分商品按报价支付拍卖中的竞标者行为，对于讨论实践中应采用按报价支付拍卖还是统一价格拍卖十分重要；这些拍卖形式每年用于分配价值数万亿美元的商品。若能确认均衡行动定义明确，且可能具有便于处理的闭式表达，就意味着拍卖的结构性实证研究可以正确推断按报价支付拍卖中未观察到的结果。上文讨论的近期研究提出了一系列丰富成果，可为重要市场中的政策决策提供助力。
参考文献
Armantier O and E Sbaï (2006), “Estimation and comparison of treasury auction formats when bidders are asymmetric”, 《应用计量经济学杂志》。
Athey, S (2001), “Single crossing properties and the existence of pure strategy equilibria in games of incomplete information”, 《计量经济学》。
Ausubel, L, P Cramton, M Pycia, M Rostek, and M Weretka (2014), “Demand reduction and inefficiency in multi-unit auctions”, 《经济研究评论》。
Brenner, M, D Galai, and O Sade (2009), “Sovereign debt auctions: Uniform or discriminatory?”, 《货币经济学杂志》。
S Castellanos and M Oviedo (2004), “Optimal bidding in the Mexican treasury securities primary auctions: Results from a structural economics approach”, 研究手稿。
Federico G and D Rahman (2003), “Bidding in an electricity pay-as-bid auction”, 《规制经济学杂志》。
Février, P, R Préget, and M Visser (2004), “Econometrics of share auctions”, 研究手稿。
Heller, D and Y Lengwiler (2001), “Should the treasury price-discriminate? A procedure for computing hypothetical bid functions”, 《制度与理论经济学杂志》。
Holmberg, P (2009), “Supply function equilibria of pay-as-bid auctions”, 《规制经济学杂志》。
Hortaçsu, A and D McAdams (2010), “Mechanism choice and strategic bidding in divisible good auctions: An empirical analysis of the Turkish treasury auction market”, 《政治经济学杂志》。
Kang, B-S and S Puller (2008), “The effect of auction format on efficiency and revenue in divisible goods auctions: A test using Korean treasury auctions”, 《产业经济学杂志》。
Kastl, J (2012), “On the properties of equilibria in private value divisible good auctions with constrained bidding”, 《数理经济学杂志》。
Maurer, L and L Barroso (2011), 《电力拍卖：高效实践概览》，世界银行出版物。
McAdams, D (2003), “Isotone equilibrium in games of incomplete information”, 《计量经济学》。
Pycia, M and K Woodward (2014), “Pay-as-bid: Selling divisible goods to uninformed bidders”, 研究手稿。
Wang, J and J Zender (2002), “Auctioning Divisible Goods”, 《经济理论》。
Wilson, R (1979), “Auctions of shares”, 《经济学季刊》。
Woodward, K (2014), “Strategic ironing in pay-as-bid auctions”, 研究手稿。
本文由 VoxEU合作发布。本文发表并不意味着世界经济论坛认可其中观点。
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作者：Kyle Woodward 是加利福尼亚大学洛杉矶分校经济学博士候选人；他将于 2015 年毕业。
图片：2007 年 2 月 14 日，一名男子从新加坡中央商务区的建筑物旁走过。路透社/Nicky Loh。
