一个下着雪的一月天，我请一教室的大学生说出他们想到数学时脑海中浮现的第一个词。出现频率最高的两个词是“计算”和“方程”。
当我向一屋子的职业数学家提出同样的问题时，却没人提到这两个词；相反，他们给出的说法是“批判性思维”和“解决问题”。
遗憾的是，这种情况很常见。职业数学家眼中的数学，与大众眼中的数学截然不同。当许多人把数学说成计算的同义词时，我们常常听到“我讨厌数学”也就不足为奇了。
于是，我开始尝试用一种不太寻常的方式解决这个问题。我决定在我任教的卡尔萨奇学院开设一门名为“编织数学”的课程。在课堂上，我选择完全不用铅笔、纸张、计算器（天哪）和课本。取而代之的是，我们交谈、动手、画图，还摆弄从沙滩球到卷尺的各种东西。作为家庭作业，我们通过写博客来反思。当然，我们也编织。
相同，却又不同
方程是数学内容的核心之一，而等号对此至关重要。像 x = 5 这样的方程告诉我们，可怕的 x（代表某个量）与 5 的值相同。数字 5 和 x 的值必须完全一致。
常见的等号非常严格。任何一点偏差，只要不再“完全”一致，就意味着两者不相等。然而，生活中有很多时候，两个量并不完全相同，但按照某种有意义的标准，它们实质上是相同的。
举例来说，想象你有两个方形靠垫。第一个靠垫上面是红色，右侧是黄色，下面是绿色，左侧是蓝色。第二个靠垫上面是黄色，右侧是绿色，下面是蓝色，左侧是红色。
这两个靠垫并不完全相同。一个顶部是红色，另一个顶部是黄色。但它们显然相似。事实上，只要把红色朝上的靠垫逆时针转一圈，它们就会完全相同。
同一个靠垫放在床上，能有多少种摆法让它看起来像不同的靠垫？稍作研究就会发现，双色装饰靠垫有 24 种可能的配色组合，但通过移动同一个靠垫只能得到其中八种。
学生们用编织图表编织双色装饰靠垫，以此展示这一点。
学生们制作了方形编织图表，图表经过八种变换后，每一种都会呈现不同的图案。随后，他们将图表编织成装饰靠垫，通过实际转动靠垫来展示这些图案之间的等价关系。
橡皮膜几何
我们讲到的另一个主题，有时被称为“橡皮膜几何”。这个概念是想象整个世界都是由橡皮制成的，再重新设想各种形状会是什么样子。
让我们通过编织来理解这个概念。编织圆形物件（如帽子或手套）的一种方法，是使用一种叫作双头针的特殊编织针。制作过程中，三根针撑出帽子的形状，使其看起来像三角形。等帽子脱离针后，有弹性的纱线便会松弛下来，形成圆形，也就是更常见的帽子形状。
“橡皮膜几何”试图描述的正是这个概念。某种程度上，如果三角形和圆形由柔性材料制成，它们就可以视为相同。事实上，在这一研究领域中，所有多边形都会变成圆形。
如果所有多边形都是圆形，那还剩下什么形状？即使物体具有柔性，有些特征仍然可以区分它们——例如，形状有没有边、有没有孔、有没有扭转。
编织中有一种与圆形不等价的物件，例如无穷围巾。如果你想在家制作一条纸质无穷围巾，可以取一条长纸带，将短边粘在一起：把左上角接到右下角，再把左下角接到右上角。然后沿着物件绕一圈画上朝上的箭头。接下来应该会发生一件很酷的事。
课程中的学生花了一些时间编织无穷围巾、发带等物件；即使用柔性材料制作，这些物件之间仍然存在差异。添加箭头等标记，有助于直观地看清它们究竟有何不同。
数学的不同风味
如果本文描述的内容在你听来不像数学，我想强调，它们确实是数学。本文讨论的抽象代数和拓扑学通常是大学三、四年级数学专业学生才会学习的内容。然而，只要使用合适的媒介，这些学科的思想其实很容易理解。
在我看来，没有理由把这些不同风味的数学藏在公众视野之外，或是不如传统数学那样受到重视。此外，研究表明使用能够实际操作的材料，可以提升各个学习阶段的数学学习效果。
如果更多数学家能够放下传统方法，世界似乎就有可能克服一种根深蒂固的误解：计算等同于数学。也许还会有更多人愿意拥抱数学思维；若不是在比喻意义上，那就真的抱着一个装饰靠垫吧。
